Век живи, век учись (значение) — учиться, познавать новое, рекомендуется всю жизнь. Знания и опыт безграничны и неисчерпаемы (русская пословица).
Пословица указана в книге «Пословицы русского народа» (1853 г.) В.И. Даля (раздел "Ученье – Наука"):
"Век живи – век учись (а умри дураком)".
К этой пословице иногда применяется и ироническая присказка "а дураком помрешь", про бесполезность учения – сколько бы человек не учился, а все равно всего не изучишь.
Известен и афоризм Козьмы Пруткова — Век живи — век учись! и ты наконец достигнешь того, что, подобно мудрецу, будешь иметь право сказать, что ничего не знаешь. Эта мысль близка к идее философа Сократа — Я знаю, что ничего не знаю.

В словарях
Век живи век учись — пословица о том, что учению, познанию нет пределов. Век живи век учись, дураком умрёшь (посл.).
📙 Толковый словарь Ожегова (Ожегов С.И., Шведова Н.Ю., 1992 г.), "Век".
В английском языке есть близкое выражение — живи и учись (live and learn) со значением — извлекай выгоду из опыта, учения. Выражение указано в Американском словаре "American Heritage Dictionary of Idioms" Кристина Аммера (by Christine Ammer), 1992, где отмечено, что оно применяется со второй половины 16 века.
✍ Примеры
Кэтрин Райан Хайд
"Не отпускай" (2010 г.), перевод с английского 2015 г. — о дорогом заказе девочкой пиццы:
"— Извини, что получилось так дорого. Сама сказала, можно заказать то, что захочется…
— Да. Век живи — век учись. Сегодня заказывать буду я."
Богомолов, Владимир Осипович (1924 – 2003)
«Момент истины (В августе сорок четвертого…)» (1974 г.), 60. Таманцев:
"Прежде всего я оглядел сапоги Павловского. По виду — сверху — советские, яловые, офицерские, они имели подошвы немецких армейских сапог, подбитых гвоздями с широкими шляпками, каблуки были охвачены металлическими подковками. Такого гибрида за три года войны я еще не встречал — век живи, век учись"
Чехов Антон Павлович (1860 – 1904)
«Леший» (1890 г.), д. 4, 7:
"Серебряков. В последнее время, Михаил Львович, я так много пережил и столько передумал, что, кажется, мог бы написать в назидание потомству целый трактат о том, как надо жить. Век живи, век учись, а несчастия учат нас."
Толстой Лев Николаевич (1828 – 1910)
"Анна Каренина" (1873 – 1877 гг.), часть V, глава XXV:
"Нет, век живи, век учись. И я учусь понимать вашу высоту и ее низость"
Достоевский Федор Михайлович (1821 – 1881)
«Преступление и наказание» (1866 г.) ч. 2 гл. 7:
"что завтра будет, увидим, а сегодня очень даже недурно: значительная перемена с давешнего. Век живи, век учись..."
Даль Владимир Иванович (1801 – 1872)
"Сказка о Георгии Храбром и о волке" (1857 г.):
"Я не дурак; хоть и знаю, что и мне, наряду со всеми, сказано: век живи, век учись, а умри дураком;"
Червонорусские предания. 10:
"Послушайте ж меня, тогда поймете... Вот оно и выходит на то, что век живи, век учись, а помри дураком."
Мельников
На горах. 1, 4.:
"Хоть ты теперь у меня и обученная, а все-таки храни старую пословицу: век живи, век учись."
Фонвизин Денис Иванович (1745 – 1792)
"Недоросль" 2, 6 – мать (Простакова) говорит сыну, чтобы тот учился:
"г-жа Простакова. Век живи, век учись, друг мой сердешный! Такое дело."
Диккенс Чарльз (Charles Dickens) (1812 – 1870)
«Посмертные записки Пиквикского клуба» (The Posthumous Papers of the Pickwick Club), (1836 — 1837), гл. 19:
"Live and learn, you know. They’ll be good shots one of these days. I beg my friend Winkle’s pardon, though; he has had some practice."
Болотов Андрей Тимофеевич (1738 – 1833)
«Жизнь и приключения Андрея Болотова, описанные самим им для своих потомков», 1789-1816 г.:
"Вот, отец мой! говорил он: век живи, век учись, какая беда со мною сделалась. Ветчины я доброй продал шесть пуд, а тут зимою превеликих множество, иные в два, иные в три пуда были, такие были чистые и хорошие. Оставил, отец мой, про себя; но вот, плут, бездельник солил мало, а я велел ее под кровлю подле окошек повесить, опоздал соленьем, отец мой! Итак, все с кровли капало на ветчину, потом сняли ее, положили в анбар; я поехал в козловскую деревню и велел ее без себя по 3 копенки фунт распродать. Но посмотрим, черви по вершку в ней выросли и кто продавал, так ветчиной его прибили, и рад был по 3 полушки взять. Теперь стал вовсе без ветчины, а баранов для того не бью, что в две недели его не сем". "
С близким значением
Аз есмь в чину учимых и учащих мя требую
Это выражение (на старославянском языке) было выгравировано на кольце, которое носил русский царь Петр I (1672 – 1725).
Будьте самоучками, не ждите, пока вас научит жизнь
Слова Станислава Ежи Леца (1909 – 1966), польского поэта, философа, писателя-сатирика и афориста.
Знание — сила (Scientia potentia est)
Цитата из работы "Нравственные и политические очерки", 2, 11 (1597 г.) английского философа-материалиста Фрэнсиса Бэкона (1561 – 1626).
Учиться, учиться и учиться
Слова, приписываемые политику Ленину Владимиру Ильичу (1870 – 1924), которые призывают к терпеливому кропотливому обучению.
Что умеете хорошего, то не забывайте, а чего не умеете, тому учитесь
Цитата из "Поучения Владимира Мономаха", написанного для своих детей русским князем Владимиром Всеволодовичем Мономахом (1053 – 1125) предположительно в 1117 году.
😎 Дополнительно
Книга "Пословицы русского народа" (1853 г.), В.И. Даль