Под сукно положить что — оставить без исполнения (дело, жалобу), не дать ходу. (Толковый словарь русского языка (1992 г.) Ожегова С.И., Н. Ю. Шведова, "Сукно")
Под сукно положить (дело, просьбу) — перен. оставить без исполнения, без рассмотрения, не дать ходу. (Толковый словарь (1935 – 1940 г.) Д. Н. Ушакова, "Сукно")
Под сукном лежать (о деле, просьбе) — перен. оставаться без исполнения, без движения. (Толковый словарь (1935 – 1940 г.) Д. Н. Ушакова, "Сукно")
Сукно — Шерстяная или хлопчатобумажная плотная ткань с гладкой поверхностью. Солдатское сукно (серое шинельное сукно). Стол покрыт зелёным сукном. (Толковый словарь русского языка (1992 г.) Ожегова С.И., Н. Ю. Шведова)
Сукно это шерстяная ткань с гладкой поверхностью, которой покрывался письменный стол. Если прошение чиновник клал под сукно, чтобы не заниматься этим делом, то оно там долго и оставалось без рассмотрения.
Фразы с близким значением:
В долгий ящик — откладывать исполнение какого-нибудь дела на неопределенное время
Примеры
Кони Анатолий Федорович (1844 – 1927)
"ВОСПОМИНАНИЯ О ДЕЛЕ ВЕРЫ ЗАСУЛИЧ", Собрание сочинений в восьми томах, Том 2 (Издательство "Юридическая литература", Москва, 1966 г.):
"И, действительно, председатель этого комитета князь Лобанов-Ростовский, недовольный назначением в комитет своего личного врага — Трепова, не собирал членов в заседания, и сообщения прокурора палаты клались вследствие этого под сукно.".
Державин Гавриил Романович (1743 – 1816)
"Записки из известных всем происшествиев" (1812 г.):
"Как бы то ни было, только Сенат, потолковав ответ, положил его, как называется, в долгий ящик под красное сукно.".