Город Одессу стали именовать "мамой" с первых лет ее основания, то есть начиная с конца 18 века. Чтобы привлечь сюда людей, местные власти принимали на работу и выделяли участки для жилья без проверки документов. Сюда потекли беглые крепостные, люди без документов, люди с сомнительным прошлым.
За то что здесь можно было любому найти себе пристанище Одессу и именовали мамой.
✍ Примеры
Паустовский Константин Георгиевич (1892 – 1968)
«Повесть о жизни», «Книга скитаний» (1963 г.) - слова Багрицкого:
"Остается пятьсот рублей на дожитие в Москве и на обратную дорогу до Одессы-мамы.".