Юли́ть (значение) — 1. Суетливо вертеться; 2. Заискивать, лебезить; 3. Хитрить, изворачиваться.
Происхождение
Выражение от устройства - юла, которая вращается вокруг своей оси. Сейчас мы знаем юлу в основном как детскую игрушку. В то же время, Максимов Сергей Васильевич (1831 – 1901) в книге «Крылатые слова» (к выражению Проюрдонить и проюлить) пишет, что юла использовалась для азартных игр в тюрьмах и на каторгах:
""проюлить" уже не подлежит сомнению в своем русском происхождении, будучи хорошо известным в смысле игорного занятия, даже в Сибири на Байкалом, в тамошних каторжных тюрьмах. Здесь, на досуге, за глазами сторожевого бдительного надзора, людьми сильных страстей ведется бесконечная и азартная игра самодельными картами и костями. В играх второго сорта играет главную роль юла, вертушка, с гранями по ребру и цифрами, заместо костей. Ее вертят двумя пальцами, играя на деньги (по объяснению самого же Владимира Ивановича Даля). Не так давно, на нашей памяти, эти юлки вертелись, юлили гранями одна за другой, пущенные сильной и опытной рукой на столиках в восемь клеток майданщиками или мошенниками на всероссийских ярмарках. Теперь, расчистив на тюремных нарах место от казенных полушубков и собственной рвани, бросают эти юлы тюремные люди, загадывая просто на чет и нечет по самому простому способу: надо торопиться и оглядываться. С картами больше возни и опасностей, и притом, когда их отберут, делать новые и долго, и трудно. Юлу не так жалко и отдать надзирателю и легче ее спрятать; к тому же, и сделать новую не велика хитрость. Попадется в праздничном приварке для арестантского стола говяжья кость, либо принесет ее со стороны сердобольный человек, -- ее распиливают крученой суровой ниткой, постоянно смачивая ее в растворе золы и березового угля. Один пилит, другой подливает щелок, чтобы нитка не загорелась и неразорвалась."
В словарях
Толковый словарь русского языка (1992 г.) Ожегова С.И., Н. Ю. Шведова:
Юли́ть, юлю, юлишь; несов. (разг.).
1. Суетливо вертеться. Сиди спокойно, не юли.
2. перен., перед кем. Заискивать, лебезить.
3. Хитрить, изворачиваться. Не юли, говори правду.
Толковый словарь (1935 – 1940 г.) Д. Н. Ушакова:
Юли́ть, юлю, юлишь, несовер. (разг.).
1. Суетиться, вертеться (как юла). «По земле между цветами юлили проворные жужелицы.» Пришвин. «(Муха) то под носом юлит у коренной, то лоб укусит пристяжной.» Крылов.
2. перен., перед кем-чем, около кого-чего. Лебезить, заискивать, вертясь, суетясь около кого-нибудь. «- Бурмистр… перед помещиком, как бес перед заутреней, юлил: "Так точно! Слушаю-с!"» Некрасов.
Дополнительно
Проюрдонить и проюлить («Крылатые слова», 1899 г. (Максимов Сергей Васильевич))