Навострить лыжи (значение фразеологизма) — приготовиться бежать, а также убежать.
Навостри́ть — отточив, сделать острым.
Наверное все, кто когда либо вставал на лыжи обращал внимание, что их передние концы заострены. Благодаря острому концу, лыжа рассекает снег и скользит быстрее. Раньше, лыжи готовили сами и сами затачивали их концы, что называлось как "наострить" или "навострить".

Художник: Дормидонтов Н.И., 1931 г.

В словарях
Навострить лыжи (разг.) — приготовиться бежать, а также убежать.
📙 Толковый словарь Ожегова (Ожегов С.И., Шведова Н.Ю., 1992 г.), "Лыжи".
Навострить лыжи (разг. фам.) — приготовиться уйти, убежать, чтобы скрыться.
📙 Толковый словарь Ушакова (Ушаков Д.Н., 1935 – 1940 гг.), "Лыжи".
Навостри́ть — Отточив, сделать острым.
📙 Толковый словарь Ушакова (Ушаков Д.Н., 1935 – 1940 гг.).
Примеры
Андреев Леонид Николаевич (1871 – 1919)
«Баргамот и Гараська» (1898 г.) – о мыслях пьяного Гараськи убежать от городового:
"В голове Гараськи блеснула соблазнительная мысль — навострить от Баргамота лыжи, но хоть голова его и прояснела от необычности положения, зато лыжи находились в самом дурном состоянии, как бы поклявшись вечно цепляться друг за друга и не давать друг другу ходу."
Салтыков-Щедрин Михаил Евграфович (1826 – 1889)
"Пошехонская старина" (1888 г.), гл. 23:
"Не успел воротиться, а уж опять лыжи навострить сбираешься?"
"Карась-идеалист" (1884 г.):
"С тобой, видно, гороху наевшись, говорить надо! — кричал он на карася и, навостривши лыжи, уплывал от него во свояси"
Пыляев Михаил Иванович (1842 – 1899)
«Замечательные чудаки и оригиналы" (1898 г.), гл. 2:
"...завидев высокую карету четверкою цугом с двумя лакеями в военных ливреях на запятках, «навостривали лыжи» и быстро утекали..."
Гоголь Николай Васильевич (1809 – 1852)
«Миргород» (1835 г.), "Вий":
"С этим нечего шутить. Стой, стой, приятель: я так навострю лыжи, что ты с своими собаками не угонишься за мною."
"Мёртвые души" (1842 г.), т. 1, гл. 8:
"Дело известное, что мужик: на новой земле, да заняться еще хлебопашеством, да ничего у него нет, ни избы, ни двора, убежит, как дважды два, навострит так лыжи, что и следа не отыщешь"
С близким значением
- Навострить уши
- С любопытством прислушаться.