Лямку тянуть (значение фразеологизма) — заниматься тяжёлой и скучной работой.
Ля́мка (значение) — широкий ремень, полоса ткани или верёвка, перекидываемая через плечо для тяги или переноски тяжестей.
Выражение со времен использования труда бурлаков на русских судоходных реках. Вниз, суда шли по течению. А для того, чтобы поднять судно против течения использовались лошади или бурлаки. Бурлаки тянули судно за канат (бечеву). Канат крепился за мачту или специально установленный шесть. Бурлаки перекидывали лямки, прикреплённые к бечеве, через плечо и шли по берегу или мелководью у берега, таща за собой суда. Лямка использовалась, чтобы бечева не резала плечо бурлаку. Лямка была шире чем бечева, чем увеличивала площадь контакта с плечом бурлака.
Подробнее о картине: Бурлаки на Волге (Репин И.Е.)
В словарях
Лямку тянуть (разг.) — заниматься тяжёлой и скучной работой. (Толковый словарь Ожегова (Ожегов С.И., Шведова Н.Ю., 1992 г.), "Лямка")
Тянуть лямку — перен. делать тяжелую, надоедливо-нудную, неприятную работу; нести тяжелые, нудные обязанности. (Толковый словарь Ушакова (Ушаков Д.Н., 1935 – 1940 гг.), "Лямка")
Ля́мка — Широкий ремень, полоса ткани или верёвка, перекидываемая через плечо для тяги или переноски тяжестей. Лямки парашюта. Тянуть на лямках. (Толковый словарь Ожегова (Ожегов С.И., Шведова Н.Ю., 1992 г.))