Дыша́ть на ла́дан (значение фразеологизма) — 1) умирать, приближаться к смерти (о человеке); 2) существовать последние дни, приближаться к концу (о предмете).
Ла́дан (значение) — ароматическая смола, употребляемая для курения при богослужении.
В церкви существует обряд, когда перед мертвым или умирающим человеком кадят ладан (раскачивают сосуд, в котором находится тлеющий ладан). Отсюда и выражение.
В словарях
Дыша́ть на ла́дан — 1) умирать, приближаться к смерти (о человеке); 2) существовать последние дни, приближаться к концу (о предмете) (Толковый словарь Д. Н. Ушакова, 1935-1940, к слову "ладан").
На ла́дан дышит кто-что-нибудь — при смерти кто-н.; устар.; также о чём-н. ветхом, изношенном до крайности; разг. шутл. (Толковый словарь Ожегова (Ожегов С.И., Шведова Н.Ю., 1992 г.), к слову "ладан")
Ла́дан — Ароматическая смола, употребляемая для курения при богослужении (Толковый словарь Ожегова (Ожегов С.И., Шведова Н.Ю., 1992 г.))
Примеры
Достоевский Федор Михайлович (1821 – 1881)
«Братья Карамазовы» (1878 – 1880 гг.), книга VII, III:
"Когда Федор Павлович Карамазов, связавшийся первоначально с Грушенькой по поводу одного случайного «гешефта», кончил совсем для себя неожиданно тем, что влюбился в нее без памяти и как бы даже ум потеряв, то старик Самсонов, уже дышавший в то время на ладан, сильно подсмеивался."
Книга VIII, I - о Самсонове и Грушеньке:
Но почему-то в нем, и даже уже давно, основалось убеждение, что этот старый развратитель, дышащий теперь на ладан, может быть, вовсе не будет в настоящую минуту противиться, если Грушенька устроит как-нибудь свою жизнь честно и выйдет за «благонадежного человека» замуж.