Из-под палки (значение фразеологизма) — по принуждению.
От заставить делать что-либо под угрозой быть избитым (палкой).
В словарях
Из-под палки (разг.) — по принуждению. (Толковый словарь Ожегова (Ожегов С.И., Шведова Н.Ю., 1992 г.), "Палка")
Из-под палки (разг.) — по принуждению, не по своей воле. Работать из-под палки. (Толковый словарь Ушакова (Ушаков Д.Н., 1935 – 1940 гг.), "Из-под")
Примеры
Достоевский Федор Михайлович (1821 – 1881)
"Записки из мертвого дома" - про каторжан:
"Весь этот народ работал из-под палки, - следственно, он был праздный, следственно, развращался: если и не был прежде развращен, то в каторге развращался."