Для (ради) красного словца (значение фразеологизма) — говорить что-либо, чтобы произвести хорошее впечатление сказанным.
Погнаться за красным словцом — про человека, который чтобы произвести хорошее впечатление на слушателей, привирает.
"Красное" означает — красивое (погнаться за красивым (оригинальным) словом).
В словарях
Толковый словарь русского языка (1992 г.) Ожегова С.И., Н. Ю. Шведова, "Словцо":
Для (ради) красного словца — ради остроумного хлёсткого замечания. Для (ради) красного словца не пожалеет родного отца (пословица).
Толковый словарь (1935 – 1940 г.) Д. Н. Ушакова, "Красный":
Красное словцо — остроумное, меткое выражение, острота. «Ради красного словца не пожалеет родного отца.» Поговорка.
Примеры
Чехов Антон Павлович (1860 – 1904)
«Безотцовщина» (1878 г.):
"Это он сказал? (Смеется.) Да, он любит иногда отпускать такие изреченьица... Но да ведь он для красного словца..."