Погнаться за красным словцом — говорить что-либо, чтобы произвести хорошее впечатление сказанным.
Красное словцо — остроумное, меткое выражение, острота (Толковый словарь Д. Н. Ушакова, 1935-1940)
Погнаться за красным словцом — про человека, который чтобы произвести хорошее впечатление на слушателей, привирает.
"Красное" означает — красивое (погнаться за красивым (оригинальным) словом).
Примеры
Чехов Антон Павлович (1860 – 1904)
"Безотцовщина" (1878 г.):
"Это он сказал? (Смеется.) Да, он любит иногда отпускать такие изреченьица... Но да ведь он для красного словца..."