Для (ради) красного словца (значение фразеологизма) — говорить что-либо, чтобы произвести хорошее впечатление сказанным.
Погнаться за красным словцом — про человека, который чтобы произвести хорошее впечатление на слушателей, привирает.
"Красное" означает — красивое (погнаться за красивым (оригинальным) словом).
В словарях
Для (ради) красного словца — ради остроумного хлёсткого замечания. Для (ради) красного словца не пожалеет родного отца (пословица).
📙 Толковый словарь Ожегова (Ожегов С.И., Шведова Н.Ю., 1992 г.), "Словцо".
Красное словцо — остроумное, меткое выражение, острота. «Ради красного словца не пожалеет родного отца.» Поговорка.
📙 Толковый словарь Ушакова (Ушаков Д.Н., 1935 – 1940 гг.), "Красный".
Примеры
Мамин-Сибиряк Дмитрий Наркисович (1852 – 1912)
«Золотуха» (1884 г.), III:
"Бучинский любил прибавить для красного словца, и в его словах можно было верить любой половине, но эта характеристика Гараськи произвела на меня впечатление против всякого желания."
Чехов Антон Павлович (1860 – 1904)
«Безотцовщина» (1878 г.):
"Это он сказал? (Смеется.) Да, он любит иногда отпускать такие изреченьица... Но да ведь он для красного словца..."
Цитаты
Ради красного словца не пожалеет и отца