На побегу́шках (значение фразеологизма) — 1) о том, кто употребляется кем-нибудь для мелких услуг, поручений; 2) о том, кто подчиняется во всём, в мелочах.
На побегушках — буквально означает часто и много отправляться (бегать) для исполнения поручений. Отсюда и появилось значение выражения.
В словарях
Побегу́шки — Только в выражении: на побегушках или на побегушки (разг.). - 1) для мелких услуг, для посылок. «Отдали Порфирку в земский суд, не столько для письма, сколько на побегушки приказным за водкой.» Салтыков-Щедрин. 2) перен. в полном подчинении, в состоянии готовности исполнить любое, малейшее желание. Он у нее на побегушках. (Толковый словарь Ушакова (Ушаков Д.Н., 1935 – 1940 гг.)).
Побегу́шки — 1) на побегушках кто у кого (разг. неод.) о том, кто употребляется кем-нибудь для мелких услуг, поручений; также перен.: подчиняется во всём, в мелочах; 2) на побегушки взять кого (разг.) для выполнения мелких услуг, поручений. (Толковый словарь Ожегова (Ожегов С.И., Шведова Н.Ю., 1992 г.))
Примеры
Гиляровский Владимир Алексеевич (1855 – 1935)
"Москва и Москвичи" (1926 г.), Начинающие художники - про художника Н. И. Струнникова:
"Так же, как и все, был «на побегушках», был маляром, тер краски, мыл кисти, а по вечерам учился рисовать с натуры."
Достоевский Федор Михайлович (1821 – 1881)
"Игрок" - главный герой рассуждает о отношении к нему Полины:
"она знает, положим, что мне известно какое-нибудь обстоятельство ее жизни или что-нибудь о том, что сильно ее тревожит; она даже сама расскажет мне что-нибудь из ее обстоятельств, если надо употребить меня как-нибудь для своих целей, вроде раба, или на побегушки; но расскажет всегда ровно столько, сколько надо знать человеку, употребляющемуся на побегушки, и если мне еще неизвестна целая связь событий, если она и сама видит, как я мучусь и тревожусь ее же мучениями и тревогами, то никогда не удостоит меня успокоить вполне своей дружеской откровенностию, хотя, употребляя меня нередко по поручениям не только хлопотливым, но даже опасным, она, по моему мнению, обязана быть со мной откровенною."
Островский Александр Николаевич (1823 – 1886)
"Доходное место" - Юсов рассказывает Кукушкиной:
"Года два был на побегушках, разные комиссии исправлял: и за водкой-то бегал, и за пирогами, и за квасом, кому с похмелья, и сидел-то я не у стола, не на стуле, а у окошка на связке бумаг, и писал-то я не из чернилицы, а из старой помадной банки. А вот вышел в люди."
Салтыков-Щедрин Михаил Евграфович (1826 – 1889)
"Пошехонская старина" (1888 г.), гл. 21:
""девчонки, еще так недавно мелькавшие на побегушках, сделались перезрелыми девами..."