Держать на коротком поводке (значение фразеологизма) — Контролировать кого-либо; Управлять кем-либо; держать в узде.
Если собаке одеть короткий поводок, то ее движение будет ограничено длиной этого поводка. Отсюда и выражение.
Примеры
Талеб Нассим Николас (рожд. 1960)
«Черный лебедь. Под знаком непредсказуемости» (2012 г.):
"... все зверье живет на очень коротком поводке непосредственной зависимости от окружающей среды, а нам эволюция этот поводок словно бы удлинила."