Пай-мальчик (значение фразеологизма) — послушный человек (применяется не только к детям).
Выражение образовалось от старинного значения слова "пай" — послушный. Так, Толковый словарь живого великорусского языка (1863 – 1866 гг.) В.И. Даля указывает:
"ПАЙ, паинька, петерб., чухон. умник, послушный, говорят дитяти. Ты пай дитя. Паить дитя по головке, гладить и баловать.
II. ПАЙ муж., татар. часть, доля надела или раздела, собина, делянка в складчине, артели, товариществе..."
В словарях
Пай — О детях: послушный, тихий (часто ирон.). Пай-мальчик. Пай-девочка. (Толковый словарь Ожегова (Ожегов С.И., Шведова Н.Ю., 1992 г.))
Пай (детск. разг. фам.) — Паинька, благоразумный, послушный. «Мальчик-пай. - Это очень, очень мило! Пай мальчик!» Боборыкин. (Толковый словарь Ушакова (Ушаков Д.Н., 1935 – 1940 гг.))
Примеры
Талеб Нассим Николас (рожд. 1960)
«Черный лебедь. Под знаком непредсказуемости» (2012 г.):
"Я сообразил, что гораздо выгоднее быть “разумным” пай мальчиком после того, как ты уже доказал способность действовать, а не только болтать.".
Салтыков-Щедрин Михаил Евграфович (1826 – 1889)
«Круглый год», 1879—1880 г.:
"А так как ты у меня пай-мальчик и наверное уж приготовил к завтрему уроки, то скажи Аринушке, что бай-бай пора."