Под эгидой (значение фразеологизма) — 1) чего, под защитой, покровительством чего-нибудь; 2) под руководством, будучи подчинённым кому-чему-нибудь.
Эгида (значение) — защита, покровительство.
Слово "Эгида" греческого происхождения. В Древней Греции Эгидой (от греческого aigis - козья шкура, из которой обычно делали щиты) называли (Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка.- Чудинов А.Н., 1910):
1) щит Юпитера.
2) атрибуты богини Афины: шлем или шкура, покрывающая верхнюю часть туловища.
3) символ защиты богов, отчего и теперь употребляется в смысле охраны, защиты.
Поэтому выражение "Под эгидой" и стало обозначать — Под защитой, под покровительством кого-либо или чего-либо
В словарях
Под эгидой (книжн.) — 1) чего, под защитой, покровительством чего-нибудь. Под эгидой закона; 2) кого-чего, в знач. предлога с род. п., под руководством, будучи подчинённым кому-чему-нибудь. Действовать под эгидой наблюдателей. (Толковый словарь Ожегова (Ожегов С.И., Шведова Н.Ю., 1992 г.), "Эгида")
Эгида (греч. aigis — название щита верховного бога Зевса в древнегреческой мифологии) (книжн.). — Защита, покровительство, преим. в выражении: Под эгидой. «Но он был под двойной эгидой пищеварения и дремоты, и оттого не почувствовал рикошета этих взглядов.» Гончаров. «Под эгидой мудрой и снисходительной власти.» А.Тургенев. (Толковый словарь Ушакова (Ушаков Д.Н., 1935 – 1940 гг.))