Тихой сапой (значение фразеологизма) — тайно и постепенно.
Са́па (значение) — подкоп, окоп, выкапываемый при наступлении по открытой местности для постепенного приближения к укрепленной позиции противника.
Выражение "тихой сапой" образовалось от фразы, означающей — медленно вести подкоп.
Интересно, что от слова "сапа" образовалось и слово "сапер".
В словарях
Тихой сапой (прост.) — тайно и постепенно. Действовать тихой сапой. (Толковый словарь Ожегова (Ожегов С.И., Шведова Н.Ю., 1992 г.), "Сапа")
Тихой сапой (итти, приближаться, проникать куда-нибудь, добиваться чего-нибудь и т.п.; разг. ирон.) (перен.) — крадучись, медленно и незаметно. «Враг понял изменившуюся обстановку, понял силу и могущество нового строя в деревне и, поняв это, перестроился, изменил свою тактику - перешел от прямой атаки против колхозов к работе тихой сапой.» Сталин (речь на объединенном пленуме ЦК и ЦКК ВКП(б) 11 января 1933 г.). (Толковый словарь Ушакова (Ушаков Д.Н., 1935 – 1940 гг.), "Сапа")
Са́па (итал. sapa, букв. мотыга) (воен.) — Подкоп, окоп, выкапываемый при наступлении по открытой местности для постепенного приближения к укрепленной позиции противника. Вести сапу. Итти сапою, тихой сапой. (Толковый словарь Ушакова (Ушаков Д.Н., 1935 – 1940 гг.))
Примеры
Сталин Иосиф Виссарионович (1879 – 1953)
"Речь на объединенном пленуме ЦК и ЦКК ВКП(б) 11 января 1933 г.":
«Враг понял изменившуюся обстановку, понял силу и могущество нового строя в деревне и, поняв это, перестроился, изменил свою тактику - перешел от прямой атаки против колхозов к работе тихой сапой.»