До мозга костей (значение фразеологизма) — до последней степени, всем своим существом.
В костях человека есть так называемый костный мозг. Соответственно, до мозга костей — очень сильно, совсем, насквозь.
В словарях
Толковый словарь русского языка (1992 г.) Ожегова С.И., Н. Ю. Шведова, "Мозг":
До мозга костей (разг.) — до последней степени, всем своим существом. Испорчен до мозга костей.
Толковый словарь (1935 – 1940 г.) Д. Н. Ушакова, "Млзг":
До мозга костей — до последней частицы своего существа (употр. при характеристике умственных или нравственных качеств кого-нибудь). «Лгунишки до мозга костей.» Чехов.
Примеры
Ярослав Гашек (1883 – 1923)
"Похождения бравого солдата Швейка" (1923 г., перевод П.Г. Богатырёв (1893 – 1971)), ч. 2, гл. 2:
"Писецкий ротмистр Кениг был типичным чиновником: строг к подчиненным и бюрократ до мозга костей."
Чехов Антон Павлович (1860 – 1904)
Письмо М. П. ЧЕХОВОЙ 14 июля 1888 г. Феодосия:
"Сувориха ежечасно одевается в новые платья, поет с чувством романсы, бранится ж бесконечно болтает. Баба неугомонная, вертлявая, фантазерка и оригиналка до мозга костей."
«Нытье» (1886 г.):
"Сейчас только кончил с уборкой своей комнаты. Утомлен до мозга костей, рука плохо пишет и, тем не менее, сажусь за стол и спешу полакомить себя беседой с таким хорошим человеком, как вы."
"Учитель" - про учителя, который был педагогом "до мозга костей"