Дежурная фраза (значение фразеологизма) — заранее приготовленная фраза; стандартная фраза для данной ситуации.
Часто имеет отрицательное значение как заранее заготовленная фраза, сказанная без души.
Видимо произошло от фразы "Дежурное блюдо":
Дежурное блюдо — в ресторанах: заранее приготовленное кушанье. (Толковый словарь Ожегова (Ожегов С.И., Шведова Н.Ю., 1992 г.), "Дежурный")
Дежурное блюдо — в ресторанах: заранее приготовленное кушанье, которое может быть подано по первому требованию. (Толковый словарь Ушакова (Ушаков Д.Н., 1935 – 1940 гг.), "Дежурный")