Распустить (распускать) нюни (значение фразеологизма) — расхныкаться, расплакаться; быть плаксой, нытиком.
Произошло от устаревшего слова "нюни", которое означало — обвислые, слюнявые губы; слюна, текущая по губам (Толковый словарь живого великорусского языка В.И. Даля (1863-1866)).
В словарях
Распустить (распускать) нюни (разг. фам. пренебр.) — расхныкаться, расплакаться; быть плаксой, нытиком. «В любви она умеет только хныкать и распускать нюни.» Чехов. (Толковый словарь Д. Н. Ушакова, 1935-1940, "Нюни").
Нюни распустить (развесить) иноск. — хныкать. (Большой толково-фразеологический словарь (1904 г.) Михельсона М. И.)
Примеры
Островский Александр Николаевич (1823 – 1886)
«Гроза» (1859 г.), действие 1, явление 5 - из разговора сына с авторитарной матерью (Кабанова):
"Кабанов. Думайте как хотите, на все есть ваша воля; только я не знаю, что я за несчастный такой человек на свет рожден, что не могу вам угодить ничем.
Кабанова. Что ты сиротой-то прикидываешься? Что ты нюни-то распустил? Ну какой ты муж? Посмотри ты на себя! Станет ли тебя жена бояться после этого?"
Е. Ардов
Из среднеазиатских очерков. 21:
"Смотри, — обратилась она к дочери, которая стояла тут ни жива, ни мертва, — чтобы к завтрему все у тебя было собрано!.. Да нюни-то не распускай!.. Не в чужие люди идешь... К отцу с матерью..."
Достоевский Федор Михайлович (1821 – 1881)
Село Степанчиково. 2, 1:
"А ты пентюх! — ты уж и нюни распустил перед ними. Твоей матери делают оскорбления, в ее же доме, а ты рот разинул!"