Мимо ушей пропустить (пропускать) что (значение фразеологизма) — не обратить (не обращать) внимания на что-нибудь сказанное, прослушать.
В книге "Пословицы русского народа" (1853 г.) В.И. Даля (раздел "Язык – Речь") указана пословица:
"Иное слово пропускай мимо ушей!".
В словарях
Мимо ушей пропустить (пропускать) что (разг.) — не обратить (не обращать) внимания на что-нибудь сказанное, прослушать. «А тебе советую не пропустить мимо ушей этих слов.» Гоголь. «Ее рассуждения он будет пропускать мимо ушей.» Боборыкин. (Толковый словарь Ушакова (Ушаков Д.Н., 1935 – 1940 гг.), "Ухо")
Примеры
Островский Александр Николаевич (1823 – 1886)
«Гроза» (1859 г.) д. 2 явл. 4:
"Кабанов. Все к сердцу-то принимать, так в чахотку скоро попадешь. Что ее слушать-то! Ей ведь что-нибудь надо ж говорить! Ну и пущай она говорит, а ты мимо ушей пропущай. Ну, прощай, Катя!"